Předmaturitní ročník: Matematika a její aplikace



Kapitoly z algebry a matematické analýzy

Hodinová dotace: dvouletý seminář
1. ročník - 2 hodiny týdně
2. ročník - 2 hodiny týdně





Cíle předmětu:

Předmět je koncipován jako dvouletý pro žáky s hlubším zájmem o matematiku, kteří chtějí studovat vysokou školu technického, ekonomického nebo matematického zaměření.

Obsahem učiva jsou celky:
1. ročník - Parametr v úlohách, Matice a determinanty, Posloupnosti a číselné řady (dle časových možností Algebraické struktury).
2. ročník – Diferenciální počet, Integrální počet.

V obou ročnících jde o učivo, se kterým se studenti setkají většinou hned po nástupu studia na vysoké škole.
Cílem semináře je proto seznámit žáky se základy uvedeného učiva na střední škole, umožnit jim orientaci v základních pojmech a na příkladech procvičit základní učivo těchto oblastí. Žák získá základní přehled o učivu, které mu pomůže při přechodu ze střední na vysokou školu.


Žáci navštěvující tento dvouletý seminář si v maturitním ročníku už nemohou vybrat předměty Integrální a diferenciální počet a Úvod do algebry, neboť učivo se překrývá.

Studijní požadavky:

Mezi nejčastější formy výuky patří výklad, samostudium, řešení problémových úloh. Součástí předmětu jsou písemné práce, samostatná či skupinová práce.
Nutným předpokladem je dobré zvládnutí učiva matematiky v povinné výuce, logické myšlení, matematický nadhled a schopnost řešit náročnější úlohy.

Obsah učiva:

učivo 1.r.

  • Parametr v úlohách
    • řešení rovnic a jejich soustav s parametrem
    • parametr v geometrických úlohách
  • Maticový počet
    • matice a její hodnost
    • ekvivalentní úpravy matice
    • základní maticové operace
    • transponovaná matice
    • maticový zápis soustav lineárních rovnic
    • Frobeniova věta
    • užití matic k řešení soustav lineárních rovnic
    • Gaussova a Jordanova metoda
    • čtvercová matice
    • součin matic, inverzní matice
    • maticové rovnice
    • determinanty a jejich vztah k maticím
    • výpočet determinantu, Sarusovo pravidlo
    • úpravy neměnící determinant a jejich užití
    • užití determinantů k řešení soustav lineárních rovnic, Cramerovo pravidlo
    • vlastní čísla matice
  • Posloupnosti a řady
    • posloupnost a její limita
    • konvergence posloupnosti
    • číselná řada
    • konvergence a divergence řad
    • mocninná řada
    • řady s kladnými (nezápornými) členy a jejich konvergence
    • alternující řada
    • absolutní a neabsolutní konvergence
  • Algebraické struktury (dle časových možností)
    • základní poj my (kartézský součin, binární relace)
    • vlastnosti binárních relací
    • relace ekvivalence a uspořádání
    • binární operace a jejich vlastnosti
    • algebraické struktury s jednou operací
učivo 2.r.

  • Diferenciální počet
    • elementární funkce a jejich vlastnosti
    • limita a spojitost funkce
    • věty o limitách a hlubší tvrzení o spojitých funkcích
    • derivace funkce
    • derivace složené funkce, součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí
    • monotonie funkce s využitím první derivace
    • lokální a globální extrémy funkce
    • konvexnost a konkávnost funkce s využitím druhé derivace
    • komplexní průběh funkce
    • užití diferenciálního počtu v úlohách na extrémy
  • Integrální počet
    • primitivní funkce a její určování
    • existence primitivní funkce
    • určení primitivní funkce metodou substituční a per partes
    • určitý integrál a jeho výpočet
    • metoda substituční a per partes pro určitý integrál
    • užití integrálu k určení velikosti plochy mezi křivkami
    • užití integrálu k určení velikosti objemu rotačních těles