Moment síly a rovnovážná poloha tělesa

Moment síly vzhledem k ose otáčení

Moment.png, 20kB Dnes se ještě jednou a asi již naposledy vrátíme k pojmu Moment síly vzhledem k ose otáčení. Jedná se o fyzikální veličinu, která se značí písmenem velké M a vypočte se podle vztahu M = F·r, kde F je velikost působící síly a r je její rameno, to jest vzdálenost přímky, na které leží síla, od osy otáčení. Jednotkou momentu síly je N·m (newtonmetr). Moment síly vzhledem k ose otáčení je vektorová veličina. Její směr je definován tak, že působí ve směru osy otáčení a orientaci určujeme pravidlem pravé ruky: prsty (bez palce) pravé ruky přiložíme ve směru otáčení tělesa, které by síla mohla způsobit, a vztyčený palec nám ukáže orientaci momentu síly vzhledem k ose otáčení. Moment síly vzhledem k ose otáčení dobře popisuje otáčivé účinky, které má síla na těleso.

Úloha 1

U1a.png, 2,9kB U1.png, 2,8kB
Tenká deska tvaru čtverce se stranou délky 50 cm = 0,5 m je volně otáčivá kolem osy, která prochází jejím středem kolmo k desce. Na desku působí tři síly. Síla F₁ působí v bodě A ve směru strany BA, síla F₂ působí v bodě B ve směru úhlopříčky DB a síla F₃ působí v bodě D ve směru kolmém k úhlopříčce BD v rovině desky, viz obrázky výše, kde je celá situace nakreslena v průmětu a v půdorysu.
Všechny tří síly mají stejnou velikost F₁ = F₂ = F₃ = 100 N.
Určete momenty působících sil vůči zadané ose otáčení a celkový moment sil působících na desku.

Řešení úlohy 1

M₁ = F₁·r₁ = 100 N · 0,25 m = 25 N·m. Moment M₁ je orientován dolů.
M₂ = F₂·r₂ = 100 N · 0 m = 0 N·m. Moment M₂ je nulový, protože přímka, na které síla F₂ leží, prochází osou otáčení, a tak r₂ = 0. U nulového momentu nemá smysl určovat jeho orientaci.
Před určením velikosti momentu M₃ musíme určit velikost ramene r₃. Je to úhlopříčka ve čtverci o straně 0,25 cm a tak k výpočtu použijeme Pythagorovu větu. 0,25² + 0,25² = 0,125 a r₃ = √(0,125) m = 0,35 m.
M₃ = F₃·r₃ = 100 N · 0,35 m = 35 N·m. Moment M₃ je orientován nahoru.
Vzhledem k tomu, že moment M₃ směřující nahoru je větší než moment M₁ směřující dolů, bude výsledný moment M_V orientován nahoru a jeho velikost bude M_V = M₃ − M₁ = (35 − 25) N·m = 10 N·m.

Úloha 2

U2.png, 3,9kB
Tenká deska tvaru pravoúhlého trojúhelníka je volně otáčivá kolem osy, která prochází vrcholem R trojúhelníka kolmo k desce. Na desku působí dvě síly, síla F₁ = 100 N a síla F₂ neznámé velikosti. Rozměry desky a působiště a směry sil jsou patrné z výše uvedeného obrázku, který zobrazuje půdorys celé situace. Určete moment M₁ síly F₁ vzhledem k ose otáčení. Dále určete velikost síly F₂ tak, aby celkový moment sil působících na desku byl nulový.

Nebudete-li si vědět rady, můžete využít nápovědy. Využijte je postupně a před tím se vždy pokuste o vlastní řešení.

Nápověda 1

Tato úloha se může zdát dost těžká. Zkuste si ji rozložit na několik jednoduchých úloh. Takové rozdělení se někdy nazývá metoda "Rozděl a panuj" a je to účinná metoda v mnoha oblastech lidského konání. Přemýšlejte tedy o tom, jaké jednoduché výpočty můžete se zadaným trojúhelníkem provést a zda z těchto jednoduchých výpočtů nejste schopni složit řešení celé úlohy. Pokud na to nepřijdete, vypočtěte alespoň něco.

Nápověda 2

Vhodný postup je tento

Vypočtěte délku strany s trojúhelníku RST (Pythagorovou větou)
Vypočtěte obsah trojúhelníku RST (na základě znalosti délky odvěsen)
Vypočtěte výšku v_r v trojúhelníku RST (díky znalosti jeho obsahu)
Určete rameno síly F₁ vzhledem k zadané ose otáčení (jak daleko je osa otáční od přímky, na které leží síla F₁)
Určete velikost momentu M₁
Určete velikost síly F₂ (tak, aby byl vyrovnán moment M₁)

Nápověda 3

Alespoň některé výpočty proveďte samostatně:

Vypočtěte délku strany s trojúhelníku RST (vyjde 7 cm = 0,07 m)
Vypočtěte obsah trojúhelníku RST (vyjde 84 cm²)
Vypočtěte výšku v_r v trojúhelníku RST (vyjde 6,72 cm)
Určete rameno síly F₁ vzhledem k zadané ose otáčení (je to 6,72 cm)
Určete velikost momentu M₁ (je to 6,72 N·m)
Určete velikost síly F₂ (vyjde 96 N)

Řešení úlohy 2

Pro určení momentu M₁ musíme znát velikost ramene této síly, tj. vzdálenost strany r od vrcholu R v trojúhelníku RST. Jinými slovy jde o výšku v_r tohoto trojúhelníku. Velikost této výšky určíme pomocí obsahu trojúhelníku. Nejprve si vypočteme Pythagorovou větou délku strany s. 0,25² − 0,24² = 0,0049 a tak s = √(0,0049) m = 0,07 m = 7 cm. Obsah trojúhelníku RST určíme pomocí jeho odvěsen S = s·t/2 = 7·24/2 = 84 cm². Tento obsah musí vyjít i z výpočtu S = r·v_r/2 a tak, počítáno v centimetrech:
25·v_r/2 = 84
25·v_r = 168
v_r = 168/25 = 6,72
v_r = 6,72 cm = 0,0672 m
Velikost momentu M₁ = 100 N · 0,0672 m = 6,72 N·m. Moment M₁ je kolmý k trojúhelníku RST a jeho orientace je nahoru. Z papíru nebo z obrazovky směřuje ven směrem ke čtenáři.

Moment M₂ síly F₂ směřuje dolů do papíru (obrazovky) a tak může vyrušit moment M₁ za předpokladu, že bude mít stejnou velikost. Musí platit:
M₂ = F₂·r₂ = F₂·0,07 m = 6,72 N·m a tak F₂ = (6,72 / 0,07) N = 96 N.

Rovnovážný stav tělesa

Říkáme, že těleso je v rovnovážném stavu, jestliže jsou současně splněny dvě podmínky:

Všechny síly působící na těleso jsou vyrovnány. To jest: výsledná působící síla je nulová.
Momenty všech sil působících na těleso jsou vyrovnány. To jest: výsledný moment je nulový.

Občas se setkáme s myšlenkou, že těleso, které je v rovnovážném stavu, musí být v klidu. Není tomu tak. Může být v klidu, ale také nemusí. Rozhodně však nemění svůj pohybový stav. Tj. pokud se pohybuje posuvným pohybem, tak se pohybuje konstantní rychlostí a trajektorií jednotlivých bodů tělesa je přímka. Pokud se pohybuje rotačním pohybem, tak se točí pořád stejnou rychlostí a nemění směr osy rotace. Samozřejmě i případ, že těleso je v klidu a zůstává v klidu, je v rovnovážné poloze možný a poměrně častý.

Rovnovážná poloha tělesa

Rovnovážná poloha je poloha, ve které je těleso v rovnovážném stavu. Rozlišujeme 3 druhy rovnovážné polohy:

Stabilní (stálá) – při vychýlení se těleso vrací do téže rovnovážné polohy. Příklady: pravítko upevněné nad těžištěm, kulička v důlku, kvádr na vodorovné podložce.
Labilní (vratká) – při vychýlení se těleso nevrací do této polohy. Příklady: pravítko upevněné pod těžištěm, kulička na kopečku, kvádr na hraně tak, že jeho těžiště je právě nad hranou.
Indiferentní (volná) – při vychýlení zůstává těleso stále v rovnovážné poloze. Příklady: pravítko upevněné v těžišti, kulička na rovině.


poloha stálá	poloha vratká	poloha volná

Pokud máte k dispozici počítač s Windows, tak si určitě stáhněte program http://www.gvp.cz/Poloha.exe. Je to malinký program, který se neinstaluje, ale jenom spustí. Vpravo dole si pusťte komentář a vyzkoušejte jednotlivé rovnovážné polohy. Pokud vám bude systém Windows (filtr SmartScreen) hlásit, že je to nerozpoznaná aplikace, tak se nedejte zastrašit a přes „Další informace“ – „Přesto spustit“ si to klidně spusťte.