Trojúhelníková konstrukce elipsy

Úkol: Sestrojit elipsu s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b.

b

a

Postup:

1) Soustředné kružnice se středem S o poloměrech a a b.

2) Dva kolmé průměry AB a CD. (Budoucí hlavní a vedlejší osa).

3) Libovolný poloměr. Body L_1 a L_2.

4) Kolmice L_1P_1 a L_2P_2. 

5) Průsečík kolmic L je bodem hledané elipsy!

Důkaz:

x

y

1) Zavedeme souřadnou soustavu s počátkem v bodě S, abychom určili souřadnice bodu L.

φ

a

a cosφ

2)  x-ová souřadnice bodu L:  x_L = a cosφ

b sinφ

b

φ

3) y-ová souřadnice bodu L:   y_L = b sinφ

4) Vztahy pro x-ovou a y-ovou souřadnici bodu L jsou ale parametrickým vyjádřením elipsy 
     se středem v počátku a poloosami a, b. Proto každý bod naší konstrukce leží na této elipse.

5) Naopak, vezmeme-li pro daný parametr (úhel φ) jakýkoli jiný bod než bod L, budou jedna nebo obě souřadnice
    různé od souřadnic bodu L a nebudou tudíž splňovat parametrické rovnice pro daný parametr φ. Není-li tedy
    nějaký bod bodem naší konstrukce, nemůže ležet na dané elipse. Tím je dokázána správnost konstrukce.

Animace on - off

Smazat stopu

Tak si to vyzkoušej...

S = (0, 0)
a = 3
b = 1.5
c = Circle(S, a)
d = Circle(S, b)
b_1 = Segment(S, (0, (-b)))
a_1 = Segment(((-a), 0), S)
T = (-2.2831594837245848, 4.43263365112067)
C: (0, b)
f = Segment(S, C)
B: (a, 0)
e = Segment(S, B)
D: (0, (-b))
A: ((-a), 0)
φ = 0.7853981633974483 rad (slider from 0 to 6.283185307179586, step 0.08726646259971647)
L_1 = Rotate(B, φ, S)
g = Segment(S, L_1)
L_2 = Intersect(d, g, 1)
i = OrthogonalLine(L_2, f)
P_2 = Intersect(i, yAxis)
h = OrthogonalLine(L_1, e)
L = Intersect(h, i)
P_1 = Intersect(h, xAxis)
β = Angle(L_1, P_1, S)
γ = Angle(S, P_2, L_2)
E: L_1 + (L_1 - L) / Distance[L, L_1] / 2
F: P_1 + (P_1 - L) / Distance[L, P_1] / 2
j = Segment(E, F)
G: L + (L - L_2) / Distance[L, L_2] / 2
H: P_2 + (P_2 - L_2) / Distance[P_2, L_2] / 2
k = Segment(H, G)
J = (4, 0)
K = (0, 3.5)
u = Vector((-4, 0), (4, 0))
v = Vector((0, -4), K)
α = Angle(P_1, S, L_1)
mnohoúhelník1, l_1, p_1, s = Polygon(P_1, S, L_1)
M: L_1
l = Segment(S, M)
m = Segment(S, P_1)
n = Segment(S, P_2)
mnohoúhelník2, s_1, l_2, p_2 = Polygon(L_2, P_2, S)
q = Segment(S, L_2)
δ = Angle(P_2, L_2, S)
p: x^(2) / a^(2) + y^(2) / b^(2) = 1
LL: L
on = 0
ko = 0
I: (10 + ko, 0)